Descomposicón y Composición

Descomposición y Composición de Movimientos Oscilatorios Armónicos

Supongamos tener dos ejes a y b en un plano sobre el que se desarrollan simultáneamente dos movimientos oscilatorios armónicos: el del punto A’ sobre el eje a y el del punto B’ sobre el eje b.

Podría ocurrir que un punto P que se mueva sobre el plano tenga por movimientos proyectados las proyecciones de los puntos A’ y B’ juntos. Así, para describir el movimiento proyectado de P sobre el podríamos sumar las proyecciones de A_x’ y B_x’, valiendo el mismo razonamiento para el eje .

Para proceder de esta manera deberíamos:

	Descomponer el M.O.A. de A’ y de B’ en dos direcciones perpendiculares y analizar si los movimientos proyectados siguen siendo M.O.A. es decir A_x’ , A_y’ B_x’ y B_y’.
	Componer los movimientos A_x’ con B_x’ y A_y’ con B_y’ en las mismas direcciones en el supuesto de que los mismos fueran M.O.A.
	Componer el movimiento resultante en con el resultante en en el supuesto de que los movimientos resultantes siguieran siendo M.O.A.

Analicemos ahora estos problemas:

Descomponer un MOA según dos direcciones perpendiculares

pero r = r_A . cos q

Luego:

o sea

Se observa que la descomposición del MOA de A’ (en la dirección de a) en dos movimientos perpendiculares (uno sobre y otro sobre ) da como resultado dos movimientos oscilatorios armónicos de igual pulsación y fase inicial que el movimiento dado, siendo sus respectivas amplitudes las proyecciones sobre cada eje de la amplitud del movimiento dado.

Componer dos MOA según la misma dirección

En este caso puede ocurrir que los movimientos tengan la misma pulsación o distinta.

1) Igual Pulsación

Sean los puntos P₁ y P₂ que giran alrededor de 0 con MOA:

Los movimientos oscilatorios armónicos a componer serán:

Siendo los ángulos medidos en t = 0, su diferencia será una constante:

Por lo tanto, la diferencia de fase en todo instante es una constante y el triángulo OP₁P₂ gira sin deformarse. En consecuencia, se puede calcular el movimiento resultante proyectando el vector posición resultante de en cualquier posición:

Para resolver el problema debemos conocer r y q_o, ya que w es la misma por girar todos los vectores con igual velocidad angular.

Proyectamos para ello los vectores posición sobre ambos ejes en t = 0

Siendo conocidos se han obtenido los valores de , por lo tanto:

y el movimiento resultante será:

con período

2) Distintas pulsaciones

Para este caso supondremos . Los movimientos a componer en la misma dirección son:

Partiendo de sus respectivas fases iniciales y teniendo en cuenta que puede suponerse que después de un cierto tiempo las fases se igualarán en un q_o q_o determinado, alcanzando . Calculemos esa fase en común de la siguiente manera: en t_o serán

y \

Siendo t_o el tiempo necesario para que alcance a . Con este t_o en las anteriores se calcula q_o q_o_o. En estas condiciones se puede simplificar el problema ya que, comenzando a contar los tiempos a partir de t_o, los dos movimientos componentes tendrían la misma fase inicial:

El problema podría simplificarse aún más girando el eje x un ángulo q_o, con lo que se anularía la fase inicial, en tal caso:

y el movimiento resultante sobre esta nueva dirección , sería:

Analicemos ahora si el movimiento resultante es periódico. Si lo fuera, para un número entero de vueltas de y otro de a partir de q_o q_o _o deberían volver a encontrarse en esa posición; es decir:

Número Racional

Luego para que el movimiento resultante sea periódico la relación de pulsaciones tiene que dar un número racional.

El período resultante T será único y común para ambos movimientos, es decir, el mínimo común múltiplo.

T = p T₁ = q T₂

Ejemplo

Sean los movimientos:

\ Número Racional

Luego el Movimiento es periódico.

Como:

Así :

Gráficamente:

Puede observarse que partiendo de t = 0 para ambos vectores coincidentes, éstos solo vuelven a encontrarse después que el primero completó 4 ciclos y el segundo 3 ciclos, es decir después de T = 2 seg.

Componer dos MOA según dos direcciones perpendiculares

También aquí pueden ocurrir dos posibilidades:

1) Igual Pulsación:

Debemos determinar la ecuación de movimiento del punto P que se mueve en una trayectoria cuyas coordenadas x e y serán las elongaciones de los MOA según direcciones perpendiculares e igual pulsación.

Teniendo en cuenta que las pulsaciones son iguales, la diferencia de fase entre ambos movimientos será constante, como se vió en el caso anterior.

Por lo tanto el período del movimiento resultante será el de los movimientos componentes:

Para determinar la ecuación de la trayectoria de P, y = y(x), partimos de las ecuaciones de los MOA que serán sus respectivas ecuaciones horarias (paramétricas) en los movimientos proyectados.

debiendo eliminar el parámetro t. Para ello desarrollamos el coseno de la suma de dos ángulos:

Obteniéndose un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, cuya solución es:

elevando al cuadrado y sumando:

Esta es la ecuación de una elipse centrada en el origen pero cuyos ejes están girados respecto de los ejes coordenados. Para cada diferencia de fase se obtiene una elipse diferente. En general se tendrán los siguientes casos particulares:

Casos particulares

luego:

(que es una elipse degenerada)

(dos rectas coincidentes)

de donde

Es decir que el movimiento resultante es rectilineo y se desarrolla sobre la recta de pendiente r₂ / r₁ :

aquí: cos

sen

y el movimiento resultante se desarrolla sobre una elipse cuyos ejes coinciden con los ejes coordenados.

En particular si r₁ = r₂ la trayectoria de P es una circunferencia.

ó

por lo tanto el movimiento de P es rectilíneo con pendiente negativa.

d) (r₁ º r₂pero sentidos opuestos)

y el moviminto es el mismo que en el caso B).

e) Para fases intermedias entre las analizadas más arriba, los movimientos resultantes reponderán a trayectorias elípticas más o menos achatadas e inclinadas según se acerquen a la recta o elipse de ejes coincidentes con los coordenados.

Para cada diferencia de fase resultará una trayectoria distinta, dando lugar a una familia de curvas que reciben el nombre de "figuras de LISSAJOUS" .

En la práctica, estas figuras se utilizan principalmente para medir diferencias de fase entre dos señales utilizando un osciloscopio, como se observa en la figura, en la cual se han tomado r₁ = r₂.

En ingeniería mecánica se utilizan para medir órbitas de ejes dentro de cojinetes en máquinas rotantes. Esta es una técnica moderna empleada asiduamente en programas de mantenimiento predictivo de plantas industriales.

2) Distintas Pulsaciones

Consideremos el caso en que Los movimientos a componer son los mismos que en el punto (C.1) pero con es decir:

tal como se analizara en el caso (B.2) puede suponerse que pasado un instante

las fases se igualarán en: y por lo tanto por iguales consideraciones que en el caso (B.2) puede tomarse como origen de los tiempos a t_o, con lo que los dos movimientos tendrían la misma fase inicial q_o.

Ahora eliminando t de estas ecuaciones puede obtenerse la expresión de la trayectoria y = y(x), proceso éste que no resulta tan directo como en el caso (C.1). Debe tenerse en cuenta, como antes, que el movimiento sólo será periódico si:

Número Racional

Siendo en tal caso el período resultante el mínimo común múltiplo de dos períodos componentes:

T = p T₁ = q T₂

Para cada relación de pulsaciones habrá una trayectoria distinta, dando lugar a figuras de Lissajous como las mostradas en la siguiente figura, donde r₁ ¹ r₂

Estas figuras tienen particular aplicación en la práctica cuando se usa un osciloscopio como medidor de frecuencias para lo cual debe utilizarse una señal cuya pulsación sea conocida.

El movimiento circular uniforme como resultado de dos oscilatorios armónicos

Si proyectáramos al móvil sobre el eje y, tendríamos:

y = r sen

El movimiento circular uniforme puede estudiarse así:

y como

resulta:

que expresa que el M.C.U. es el movimiento resultante de dos M.O.A. que se desarrollan en direcciones normales entre sí simultáneamente con igual fase inicial, pulsación y amplitud.

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