Cinemática de los Sistemas de Puntos Materiales

Cuando un conjunto de puntos materiales se mueven ligados por ciertas relaciones se dice que constituyen un sistema. Este puede ser discreto o continuo según esté constituído por una cantidad finita o infinita. Cuando se trata de determinar la posición de todos los puntos de un sistema, en apariencia se necesitarían tantos parámetros como puntos materiales tenga el sistema por tres Pi (xi, yi, zi), pero como los puntos materiales están ligados por ciertas relaciones entre sus coordenadas (o parámetros), dicho número será mucho menor.

 

Definiciones

Llamaremos configuración a una posición del sistema material y su conjunto de coordenadas del sistema al número de coordenadas o parámetros necesarios para determinar la configuración. (m)

Llamaremos condiciones de vínculo a las relaciones que se establecen entre las coordenadas o parámetros, ya que al relacionarlas entre ellas se establecen trabas a su variabilidad, o lo que es lo mismo, a la movilidad del sistema. (n)

Denominaremos coordenadas libres del sistema material a la diferencia que existe entre el conjunto de coordenadas del sistema y el conjunto de condiciones de vínculo. (p = m-n).

A ese número, el cual resulta independiente del sistema de coordenadas adoptado, lo llamaremos grados de libertad del sistema. (g.l.).

Es interesante notar que los parámetros o coordenadas libres se eligen a voluntad entre las variables del problema.

Ejemplo: supóngase 3 puntos que forman un sistema material.

Establezcamos las siguientes condiciones: 1) ninguno de los puntos puede salir del plano y 2) las distancias entre ellos deberán permanecer constantes.

1) 

2)

a) El conjunto de coordenadas del sistema, será:

m = 6 

 (1)

b) Las condiciones de vínculo (n):

n = 3   (2)

c) Los parámetros libres: p = m - n = 6 - 3 = 3

d) Los grados de libertad: g.l. = 3

Esto significa que en las (1) pueden tomarse a voluntad 3 coordenadas como libres, pero las otras 3 quedan dependientes de éstas. Es decir, si se da una variación (movimiento del sistema) a las libres, las dependientes se moverán obligatoriamente de determinada manera.

Analicemos este mismo sistema en coordenadas pseudocilíndricas:

Aquí e1 , e2 , y e3 no son parámetros.

a) 

b) n = 0

c) p = 3 - 0 = 3

d) g. l. =3

Vemos que los g.l. son independientes del sistema de coordenadas utilizado.

En los sistemas móviles siempre resulta m > n dado que los g.l. representan los distintos grados de movilidad del sistema por ser el número de parámetros libres que pueden variarse en forma arbitraria. Son los sistemas móviles o mecanismos. Cuando m = n, el sistema material queda inmóvil por cuanto no habrá parámetros libres y las coordenadas del sistema resultarán de resolver el sistema de ecuaciones formado por las condiciones de vínculo. Son los llamados isostáticos.

Existen sistemas materiales donde m < n, en este caso tampoco habrá parámetros libres y el sistema seguirá siendo inmóvil. Son los sistemas hiperestáticos.

Desde el punto de vista cinemático los dos últimos no tienen aplicación. Nuestro estudio se orientará hacia los primeros.