Veremos dos formas de estudiar el movimiento de un sistema rígido. 

La primera consistirá en el “seguimiento” de una terna solidariamente unida al sólido y la segunda se basará en los conceptos del movimiento relativo. La elección de uno u otro método de solución dependerá sobre todo de las geometrías que intervengan y la mejor indicación de la elección se tendrá después de haber adquirido experiencia con ambos métodos.

Primer Método: Movimiento Absoluto:

Tomaremos un sistema de referencia  respecto del cual nos interesa referir el movimiento del sólido y al que denominaremos terna absoluta (y no fija). Adoptaremos una terna móvil solidaria al sistema rígido y con respecto a la cual se conocen las coordenadas de todos los puntos del mismo; así, para un punto P, las coordenadas x₁, y_1, z₁ respecto de la terna  son constantes conocidas.

1) Conocer la configuración (o posición) del sistema rígido en cada instante.

2) Conocer el estado de velocidad del sistema rígido, lo que implica conocer los vectores velocidad de todos sus puntos.

3) Conocer el estado de aceleración.

1) Configuración

Al estudiar los grados de libertad de un sistema rígido libre en el espacio tridimensional, encontramos que poseía 6, y que su posición quedaba definida por 6 parámetros libres dados por 6 coordenadas de 3 de sus puntos no alineados.

Para el caso que estamos planteando (estudiar el movimiento del sólido a través de una terna unida solidariamente a él) tendremos que adoptar distintos tipos de parámetros, ya que la posición de la terna de arrastre quedará determinada cuando se conozcan las 3 coordenadas del origen 0₁  y la inclinación de los ejes de dicha terna con respecto a los de la absoluta.

Para esto último, podría trabajarse con los 9 cosenos directores de los 3 ejes o bien con los denominados ángulos de Euler.

a) Si eligiésemos los 9 cosenos directores, los ejes móviles vectorialmente quedarían expresados así:

donde c_ij = cos a _ij (i,j = 1,2,3)y a _ij son los 9 ángulos directores; por ejemplo, a ₂₃ es el ángulo existente entre el eje  .

Pero así hemos elegido otros 9 parámetros, de los cuales sólo necesitamos 3 (porque 3 teníamos de 0₁), luego deberán existir entre éstos 6 condiciones de vínculo, que son:

Luego, si los 9 cosenos directores están relacionados por 6 expresiones, quedarán 3 cosenos directores libres, de los cuales nunca podrá haber más de 2 de un mismo eje. Así, la posición quedará definida en función de las 3 coordenadas del origen de la terna de arrastre (0₁) y de 3 cosenos directores de sus ejes. Con esto se tienen 6 parámetros libres y por ende 6 grados de libertad. Pero las 6 ecuaciones de vínculo constituyen un sistema muy complicado para resolver, máxime estando formadas por funciones trigonométricas. Por esta razón conviene trabajar con los ángulos Euler.

b) Supongamos que adoptemos para conocer la inclinación de los ejes de la terna de arrastre con respecto a la absoluta a los 3 ángulos de Euler, los cuales, por otra parte, resultan ser independientes entre sí. Se puede efectuar la transformación de un sistema cartesiano dado en otro mediante tres rotaciones sucesivas realizadas de modo determinado. Los ángulos de Euler corresponden precisamente a estas rotaciones. Supongamos querer pasar de la posición de la terna absoluta  a la móvil  Para ello hacemos coincidir 0 con 0₁.

El proceso se inicia haciendo girar el sistema original  un ángulo y sobre el eje fijo en sentido contrario al horario, obteniéndose el sistema  Este movimiento recibe el nombre de precesión y y ángulo de precesión.

En un segundo paso se hace girar este nuevo sistema en sentido antihorario un ángulo q alrededor de   obteniéndose el sistema intermedio  Este es el movimiento de nutación y q el ángulo de nutación que varía de 0 a p . El eje   recibe el nombre de línea nodal y es la intersección de los planos 

Finalmente, se giran los ejes  en sentido antihorario un ángulo j alrededor del eje obteniéndose el sistema deseado  Este último movimiento, recibe el nombre de espín o rotación propia. Así pues, los ángulos de Euler y , q , j determinan por completo la orientación del sistema  con relación al  y los 6 g.l. de un sólido quedan establecidos a través de los 6 parámetros libres dados por los 3 ángulos de Euler y las 3 coordenadas del origen del sistema móvil:

Si se tienen estas funciones, se conoce para cada instante t la posición del sólido.

2) Estado de Velocidad

Hemos dicho que conocer el estado de velocidad de un sólido implica conocer los vectores velocidad de todos sus puntos. Para ello, tomaremos el origen de la terna de arrastre como centro de reducción del movimiento, suponiendo conocida la velocidad de dicho punto  y el vector rotación en el mismo 0₁ , es decir, se han reducido los vectores a 0₁.

Tomemos un punto genérico P del sólido cuyo vector posición con respecto a la terna de arrastre será:

  (14)

con 

pero:

y derivando con respecto al tiempo:

es decir, que la velocidad del punto P es:

Por lo que, derivando (14) y reemplazando:

  (15)

En este punto, se hace necesario saber qué representan las derivadas de los versores con respecto al tiempo. Para ello comparemos la expresión (15) con la forma impropia (12).

  (12)

Vemos que necesariamente:

pero es:

y por lo tanto resulta, siempre por comparación:

  (16)

Estas expresiones se conocen como las fórmulas de Poisson y permiten expresar las derivadas de los versores en función de un sencillo producto vectorial entre la   impuesta a la terna móvil y el mismo versor.

Retomando el planteo del título, determinar el estado de velocidad del sólido es sencillo si se conocen el vector rotación  y la velocidad del origen de la terna móvil   puesto que la velocidad de cualquier punto podría determinarse con la expresión (12).

donde:   es la velocidad del punto considerado.

  la velocidad del origen de la terna móvil

  es el vector rotación en el centro de reducción o_1.

  vector posición del punto referido al origen de la terna móvil o₁.

En el caso en que no se conozcan a priori  se hace necesario encontrar la forma de calcularlas. Tomemos para ello tres puntos del sólido P₁, P₂ y P₃ y apliquemos la ley de distribución de velocidades para P₂ y P₃ con respecto a P₁ como si éste fuese centro de reducción:

Las (17) son vectoriales y de las mismas surgirán 6 ecuaciones escalares con 12 parámetros: 9 componentes de las  y 3 componentes de 

Por lo tanto, 12 parámetros menos 6 ecuaciones resultan de nuevo 6 parámetros libres, por lo que el estado de velocidad de un sólido quedará determinado cuando se conozcan 6 parámetros de velocidad de 3 de sus puntos no alineados.

Las ecuaciones escalares obtenidas de las (17) serán:

  (17’)

de los cuales 6 deberán ser dados para poder determinar el estado de velocidad.

3) Estado de Aceleración

Tomemos los mismos puntos del sólido que en el apartado anterior y trabajemos análogamente aplicando la forma impropia de la ley de distribución de aceleraciones:

  (18)

Siendo:

Por lo tanto, el estado de aceleración de un sistema rígido quedará determinado cuando se conozcan 6 parámetros de aceleración de 3 puntos no alineados.

INVARIANTES DEL MOVIMIENTO RIGIDO GENERAL 

Como se ha visto al estudiar el estado de velocidades, una vez determinada la rotación  y la velocidad  de un punto cualquiera, es posible determinar la velocidad de cualquier otro punto aplicando la ley de distribución de velocidades. El mismo comentario vale para el estado de aceleraciones con  .

El vector rotación  es la resultante de todas las rotaciones que afectan al sistema y esa resultante será la misma cualquiera sea el centro de reducción adoptado; por esta razón se la suele llamar invariante vectorial del sistema.

Veamos ahora en qué consiste el concepto de invariante escalar del sistema; si se refiere la velocidad de un punto cualquiera al centro de reducción se tendrá:

 y multiplicando m. a m. escalarmente por un vector

 El segundo sumando de la derecha se anula por cuanto  será perpendicular a 

resultando: 

 Esto expresa que los vectores velocidad de un sistema material rígido proyectados en un determinado instante sobre la dirección del vector rotación son una constante que recibe el nombre de “invariante escalar m“ .

Los invariantes vectorial y escalar suministran importante información, ya que definen el tipo de movimiento: 

a) Si  Movimiento de traslación.

 c) si  debe ser  porque al proyectar, lo hace con su verdadero

                           valor Movimiento helicoidal permanente. 

d)  Movimiento helicoidal instantáneo 

En este último caso, la velocidad o traslación forma un ángulo distinto de 0º ó 90º y teniendo en cuenta que la componente de la  de cualquier punto paralelo a  es constante, al pasar de un punto al otro la velocidad varía sólo por su componente perpendicular a  . Puede entonces existir una recta paralela  en cuyos puntos se anula la componente de la velocidad perpendicular a dicha dirección y en tal caso, esa velocidad toma su valor mínimo. El lugar geométrico de los puntos de velocidad mínima recibe el nombre de eje central del movimiento o eje instantáneo del movimiento helicoidal. Dicha velocidad mínima representa el vector traslación del movimiento helicoidal instantáneo:

Luego, para cada punto la componente  representa la traslación y las componentes  son las velocidades originadas por la rotación. 

Por lo tanto, el movimiento helicoidal instantáneo puede reducirse en cualquier punto del eje central a una rotación   (invariante vectorial) y a una traslación de igual dirección  .

Para determinar un punto del eje central se procede de la siguiente manera: 

multiplicando vectorialmente  m. a m. por   

y resolviendo: 

 
tomando                 

es  

Una vez determinado E que es un punto del eje central, éste puede ser tomado como centro de reducción para usar la forma propia de la ley de distribución de velocidades:

EJEMPLO DE APLICACION

- Invariantes -

La chapa PR gira con velocidad  alrededor de la barra de longitud l que rota con velocidad  alrededor del eje vertical. 

Determinar:

 A.- Reducción del sistema al punto 0: 

1º)

2º) La velocidad de O como punto de la varilla será la impuesta por 

vemos que m ¹ 0 por tanto es un movimiento helicoidal instantáneo:

 4)

Debe tenerse en cuenta que este vector se extiende desde 0 a E. Notar que el eje instantáneo es fijo en la terna móvil, pero como ésta se corre, el eje va variando su posición respecto de la terna fija. 

B.- Reducción del sistema al punto P:  

        medido ahora desde P.