Trayectorias Polares

En los movimientos planos tiene importancia determinar la posición del centro instantáneo de rotación o polo a medida que tiene lugar el movimiento.

Siendo el movimiento plano más general el de rotación instantánea existirá un nuevo centro instantáneo C para cada nueva posición del cuerpo. En otras palabras, el polo va ocupando durante el movimiento distintas posiciones tanto en el plano móvil como en el absoluto , describiendo sendas trayectorias  denominadas polares.

El lugar geométrico de estos centros en el plano fijo recibe el nombre de trayectoria polar fija o base, y en el plano móvil trayectoria polar móvil o ruleta.

Así el movimiento plano de una chapa rígida puede describirse como la rodadura sin deslizar de la ruleta sobre la base, siendo el punto de contacto en cada instante el centro instantáneo de rotación.

Para determinar las ecuaciones de estas trayectorias, basta con considerar que  de donde, multiplicando se tiene

                                                                                        (27)

Ahora, reemplazando en esta última expresión los vectores referidos a la terna fija y móvil respectivamente, se obtienen las ecuaciones de la base y la ruleta.

Expresiones Analíticas de las Curvas "Base" y "Ruleta"
Consideremos la terna unida solidariamente a una chapa rígida que se mueva con respecto al plano y apliquemos la ecuación (27) para determinar las posiciones del polo C en los planos fijo y móvil respectivamente.

a) Curva base:

Los vectores referidos a la terna fija son los siguientes:

y reemplazando en la (27)

                 (28)

que son las coordenadas del polo con respecto a la terna fija en forma paramétrica (base).

Ahora teniendo en cuenta que:

y reemplazando en la (28):

      (29)

Estas también son las ecuaciones paramétricas de la curva base, y nos permiten observar que dicha curva es independiente del tiempo. En otras palabras, no importa cuál sea la velocidad de la chapa al describir su movimiento, la trayectoria de C es la misma.

b) Curva ruleta:

Referidos a la terna móvil, los vectores de la (27) son:

para obtener expresado en el plano móvil, proyectemos sus componentes:

y siendo:

resulta:

ó

reemplazando en (27):

resultando:

Estas ecuaciones nos dan las coordenadas del polo en los ejes móviles en forma paramétrica (curva ruleta). Como antes, podemos eliminar el tiempo, obteniendo:

                                                      (30)

La aplicación de las expresiones (29) y (30) es inmediata conociendo: