Energías Cinética y Potencial

Partamos de la ecuación de Newton:

                    (1’ repet.)

y multipliquemos :

           

Introduciendo dentro del diferencial:

           

El término del miembro derecho recibe el nombre de energía cinética e. Luego:

               (14)

Esta ecuación describe el principio del trabajo y la energía (o Teorema de las fuerzas vivas). Integrando entre dos instantes t1 y t2:

           

ó

                   (14’)

Aquí W1-2 representa el trabajo total realizado por todas las fuerzas que actúan sobre la partícula (puesto que (1’) toma  ) cuando la misma se mueve desde el punto P1 al P2. Los términos de la derecha son cantidades positivas por cuanto no dependen de la dirección de la velocidad. En otras palabras: “el incremento de la energía cinética de un punto material en un intervalo de tiempo t2 - t1, iguala al trabajo realizado por las fuerzas en ese mismo intervalo”.

En el caso particularmente importante en el cual la fuerza es posicional y además es conservativa (es gradiente de una función escalar u), refiriéndose a coordenadas cartesianas ortogonales, tendremos:

            dW = de = du                         (se ha tenido en cuenta la (13))

donde u(x,y,z) es una función escalar cualquiera que se denomina función potencial.

Ahora bien, observando la expresión anterior es lógico inferir que si las fuerzas del campo realizan un trabajo positivo generando una energía cinética, lo tendrán que hacer a expensas de un consumo de trabajo el cual las mismas están capacitadas para realizar.

Así, podemos definir en el campo conservativo una cierta función energía potencial (p) como energía capaz de realizar trabajo:

            dW = - dp    (15)

ya que a un trabajo positivo de las fuerzas del campo le corresponderá una cantidad igual pero de signo contrario de p gastada.

La función energía potencial p será igual y de signo contrario a la función escalar u(x,y,z) generadora del campo .

La relación de p con la energía cinética es

            de = - dp         (16)

Si pasáramos de un punto P1 con la velocidad V1, a un punto P2 con la velocidad V2, siendo P1 y P2 los respectivos valores de la función energía potencial, de la integración de (16) se tendría

       

      

    (17)

Este es el teorema de la conservación de la energía y expresa: “La energía mecánica E, suma de las energías cinética y potencial, se conserva constante durante el movimiento en un campo consevativo”.