Conceptos Mecánicos Derivados

Trabajo Elemental

Dada una fuerza  y un desplazamiento  de su punto de aplicación, se define como trabajo elemental de una fuerza  para dicho desplazamiento al producto:

Según sea el parámetro de variación de la fuerza, el trabajo tomará diversas formas:

a) Fuerza constante :

b) Fuerzas dependientes del tiempo:

para integrar, se debe conocer en función del tiempo:

luego:

en una terna cartesiana, será:

c) Fuerzas dependientes de la posición:

para ternas cartesianas:

                     (12)

c.1) Fuerzas conservativas:

                 (13)  

Como se observa, en este caso (campo conservativo) el trabajo dependerá exclusivamente de la posición final e inicial del punto de aplicación de la fuerza, es decir, de los valores que adopta la función escalar u en dichos puntos, sin importar la trayectoria para ir de uno a otro .

El peso de una partícula y la fuerza de un resorte elástico son dos ejemplos de fuerzas conservativas que se encuentran a menudo en mecánica. En el primer caso, será:

El trabajo solo depende del desplazamiento vertical de la partícula. Para el segundo caso, es:

        k = constante elástica del resorte.

El trabajo sólo depende de las longitudes inicial x₁ y final x₂ del resorte.

d) Fuerzas de fricción:

En contraste con una fuerza conservativa, consideremos la fuerza de fricción ejercida sobre un objeto móvil por un medio fijo. El trabajo hecho por la fuerza de fricción depende de la trayectoria (cuanto más larga sea ésta, mayor será el trabajo). Por consiguiente, las fuerzas de fricción no son conservativas. Generalmente el trabajo se discipa en forma de calor.

Retomaremos ahora el análisis propuesto a continuación de la ecuación (11). Para ello, recordemos el Teorema de Stockes:

en el cual la integral de línea representa el trabajo de circulación de la fuerza y la integral de superficie es el flujo del rotor del campo a través de la superficie limitada por l.

Si se tiene un campo irrotacional, es decir rot F = 0, resultará: 

el trabajo a lo largo de una línea cerrada es cero, lo que será válido si se cumplen las condiciones del Teorema de Stockes, es decir, que el campo sea simplemente conexo.

Si el campo es múltiplemente conexo, como el de la figura, el flujo del rotor del campo a través de la superficie limitada por l no cumple las condiciones de nulidad por cuanto 

en S₀ no está definido y por lo tanto, el flujo a través de esta superficie S₀ representaría el trabajo de circulación en la línea 1’ lo que haría que el trabajo a lo largo de una línea cerrada que abarcase la parte no definida sea distinto de cero.

Para aclarar lo anterior consideraremos el espacio de múltiple conexión no definido en la zona S y tomemos los puntos del campo P₁

El trabajo de las  del campo a lo largo de un camino que vaya de P₁ a P₂ por la línea 1₁ será W₁₂ = u₂ - u₁ ya que esta región es de simple conexión.

Sin embargo, si lo hiciéramos a lo largo de la línea 1₂ (espacio de múltiple conexión) el W variaría, ya que lo podríamos considerar como la suma de los siguientes trabajos:

 es:    

                                  (en simple conexión)

             módulo del campo (trabajo de circulación en una línea cerrada que limita la zona no definida)

 Esta última expresión establece que el trabajo entre dos puntos para un camino multiplemente conexo será igual al trabajo para un camino simplemente conexo más tantas veces el módulo del campo como vueltas desarrolla el camino alrededor de la zona no definida.

Como conclusión de este análisis, vemos que las (11) resultan ser una condición necesaria pero no suficiente para que un campo sea conservativo. Estas nos dicen que el campo es irrotacional, pero será conservativo si además la función potencial u = u(x,y,z) es uniforme, es decir, está definida en toda la región. Esto garantizará que el W a lo largo de una línea cerrada sea nulo.