2) Vibraciones libres con amortiguamiento viscoso:

El análisis de sistemas con amortiguamientos resulta muy complicado; sin embargo, existen modelos de amortiguamiento ideal que se adaptan bien a ciertos casos particulares. Uno de ellos es el que permite el tratamiento matemático más simple y se basa en la hipótesis de que la fuerza del amortiguador es proporcional a la velocidad. Se suele llamar amortiguamiento viscoso.

El sistema mecánico se muestra en la figura:

Tenemos así:

   (29)

 Solución de (29): En primer lugar, hacemos:

 \          

Analicemos los tres casos posibles:

2.1) Si  lo que ocurre es que c tiene valor elevado y hay un gran  amortiguamiento. En este caso l₁  y  l₂ resultan ser reales y por lo tanto la solución general de (19) viene dada por:

                        (31)

Si llamamos:

 como es

resulta  

Luego, los exponentes de las exponenciales son negativos, es decir que la solución y(t) viene dada por la suma de dos exponenciales decrecientes. Así,en este caso, el sistema no oscila. Al crecer t > 0 la masa tiende a la posición de equilibrio estático sin oscilar. Este movimiento se llama sobreamortiguado.

2.2) Si es: la solución general de (29) resulta:

                                         (33)

En este caso, c se designa con c_c y se denomina coeficiente de amortiguamiento crítico. Es un estado de transición entre el anterior y el que luego analizaremos. En el caso de amortiguamiento crítico, de (33) vemos que:  como la exponencial nunca se anula  y 

c₁ + c₂t = 0  si y solo si  t = z  y c₁ = - c₂ z, el sistema no oscila y puede pasar por la posición de equilibrio estático (y = 0) sólo en un caso particular. Este es sin duda, un caso semejante al anterior.

2.3) 

 Ahora es:

y como

 La solución general de (29) es:

(ya se ha hecho en sistemas mecánicos de vibraciones libres sin amortiguamiento)

 con: 

 Ahora (34) nos demuestra que el movimiento del sistema es oscilatorio amortiguado. Como sen (bt + j) varía entre + 1 y - 1, resulta que la gráfica de y(t) se encuentra entre . La figura muestra un caso:

Vemos que b es la frecuencia circular natural reducida y como    

, cuanto más pequeño es c, es mayor b y por lo tanto las oscilaciones, más rápidas. T es el pseudoperíodo =

Nótese que cuando y resulta el movimiento de vibraciones libres sin amortiguamiento.

Este movimiento se llama subamortiguado. Para este caso, resulta de interés determinar la cantidad de amortiguamiento presente en el sistema para lo que se hace necesario medir la razón de decrecimiento de la oscilación:

Para un tiempo dado, t₁, será:

y un tiempo T, después, es:

Efectuando el cociente:

luego:  

de donde:

Al logaritmo natural de la razón entre dos amplitudes sucesivas se lo denomina decrecimiento logarítmico d y permite conocer el amortiguamiento presente en un sistema si se tiene un registro gráfico de sus oscilaciones naturales.