3) Vibraciones forzadas de un sistema sin amortiguamiento:

Consideremos el sistema mecánico (masa-resorte) donde actúa sobre la masa una fuerza externa f(y,t).

La ecuación diferencial que describe el movimiento del sistema es:

          ó           (35)

Supongamos para simplificar las condiciones iniciale

                              (36)

Solución general de (35):

Consideremos la ecuación homogénea asociada:  

Su solución es:

Ahora debemos determinar una solución particular de (35).

Si la fuerza externa es una función de ambas variables (espacial y temporal), el análisis matemático del problema se torna complejo en general, ya que resultaría un problema no lineal o de coeficientes variables. Ejemplos de esto son:

                        a) f(y,t) = F_o y t

                        b) f(y,t) = F_o y² sen wt

                        c) f(y,t) = F_o y²

En el caso a) se tiene una ecuación diferencial con coeficientes variables, en b) la ecuación es no lineal con coeficientes variables y en c) es no lineal.

Si la ecuación diferencial no es lineal, la solución del problema se complica y aún para los casos más simples de la función f(y) es necesario recurrir a métodos aproximados.

Analicemos el caso en que la fuerza externa  aplicada al sistema, es una función cosenoidal (ver fig. a) en pág  (126):

Supongamos que sea: F(y,t) = F_o cos w_f t

La fuerza externa sobre la masa es de amplitud F_o y frecuencia circular w_f.

Sea:     (39)

Debemos hallar una solución particular de (39); para ello proponemos la solución:

Reemplazando en (39)

Igualando coeficientes:

Consideremos el caso más general de condiciones iniciales (36);

 Resulta así:

Así, la solución general del problema de condiciones iniciales:

Resulta ser:

    (40)

Debe notarse que los tres primeros sumandos traen la frecuencia natural w_n del sistema, mientras que el último la frecuencia de la fuerza externa w_f. En sistemas reales existe amortiguamiento y entonces el único movimiento que persiste es el descripto por el último sumando.

Por ello se lo denomina estado estacionario mientras que a los restantes, transitorios. Debe tenerse en cuenta que los términos que representan al estado transitorio tienden a cero cuando t ® ¥ en el caso que c ¹ 0.

Vamos a dar una forma distinta a (40):

Sea:

Sabemos que los dos primeros sumandos pueden reemplazarse por

  Entonces es:

Por lo tanto la respuesta del sistema viene dada por la superposición de dos oscilaciones armónicas. Una de ellas posee w_n la frecuencia natural  del sistema y la otra la frecuencia w_f de la entrada:

El Fenómeno de Resonancia:

Una situación muy importante para analizar la constituye el caso cuando

Recordemos que y entonces:   

Cuando resulta

Es decir, las amplitudes de y(t) crecen indefinidamente. Este fenómeno se denomina resonancia y representa una situación muy peligrosa en la práctica. O sea que esta situación crítica se plantea cuando la frecuencia de la fuerza excitadora del sistema coincide con la frecuencia natural del mismo.

 Se denomina factor de multiplicación a 

y su gráfica en función de w_f es:

En el caso de resonancia, la ecuación (39) se transforma en:

Dada 40:

  (42)

puede analizarse la condición de resonancia considerándola como caso límite de la solución general de la ecuación (35). Si entonces el último término de (42) se vuelve indeterminado. Usando el Teorema de L’Hospital, mediante derivación del numerador y denominador con respecto a , se obtiene:

                          (43)

 Vemos que el movimiento de la masa se incrementa sin límite a medida que el tiempo transcurre.

Sin embargo, si hay un amortiguamiento, entonces puede demostrarse que las amplitudes no crecen indefinidamente.

En el caso de considerarse solamente el término correspondiente al estado estacionario 

la gráfica de y_p en función de t, será:

 Ejemplo de Aplicación:

El motor a explosión monocilíndrico de la figura está montado sobre un bloque de cimentación que está apoyado en resortes. Describir la vibración del estado permanente del sistema si el bloque y el motor tienen una masa total de m = 80 Kg. y el motor cuando está funcionando crea una fuerza de F = 50 sen 2t [N], donde t se mide en seg. Suponer que el sistema vibra solamente en la dirección vertical, con el desplazamiento positivo medido hacia abajo, y que la rigidez total de los resortes puede representarse como

k = 2000 N/m.

Expresar para qué velocidad rotacional del motor se producirá la resonancia del sistema.

                        es: w_f = 2   ;   F_o = 50     ;    k = 2000

                    \   

a)

b)