4) Vibraciones Forzadas de un Sistema con Amortiguamiento Viscoso:
Sea:
(44)
y(o) = yo (45)
(46)
a) Solución de la homogénea asociada:
Solución complementaria:
La solución de esta ecuación ya ha sido determinada y discutida en “Vibraciones libres de un sistema con amortiguamiento”; por ello pasamos a determinar una solución particular de la no-homogenea (44).
Proponemos
como solución a: 
.
Por consiguiente:
Reemplazando
en: 
(44)
Igualando los coeficientes de los senos y cosenos:
Resolvamos
el sistema (47)-(48):
multiplicamos
a la 47 por 
y la dividimos por
y sumando m. a m.
 |
(Se
supone que 
)
- Si c = 0, obtenemos la solución ya hallada en “Vibraciones forzadas de un sistema sin amortiguamiento”.
En efecto resulta:
B =
0 y
La solución general de la ecuación homogenea asociada a (44) con c = 0, ya la determinamos y es:
Y así llegamos a la solución del problema (44), (45), (46) con c = 0 que lógicamente coincide con la expresión obtenida al estudiar vibraciones forzadas de un sistema no amortiguado.
- Si c ¹ 0
Vamos ahora al caso general en el que existe un amortiguamiento viscoso c. La solución particular yp de (44) viene dada por:
(49)
Dividiendo numerador y denominador en (49) por m2, se llega a:
que, como vimos anteriormente, puede llevarse a la forma:
(50)
donde:
(51)
(52)
el
ángulo Æ
representa la diferencia de fase entre la fuerza aplicada y la vibración
resultante de estado permanente del sistema amortiguado y su representación gráfica
en función de 
se
observa en la próxima Figura.
El factor amplificador M es ahora:
(53)
y
expresa la razón de la amplitud de la deflexión causada por la vibración
forzada a la deflexión causada por la fuerza Fo (estática). En la
gráfica siguiente puede verse que la amplificación de la amplitud aumenta
cuando disminuye c/cc y que la amplitud máxima se produce en general
para 
(ver Figura)
Ejemplo de aplicación:
Un motor eléctrico obligado a desplazarse verticalmente gira a 1470 RPM con un tornillo prisionero de masa m = 20 gr. situado a 10 cm del eje de rotación. La masa del conjunto motor-estructura es M = 50 Kg; se encuentra montado sobre un elastómero de K = 152.000 N/m y c = 2500 Kg/seg. Se desea encontrar:
a)
Zona de trabajo en relación a
versus factor amplificador.
b) Máximo desplazamiento en el estado estable para un ciclo del movimiento
c)
Diferencia de fase entre la entrada
y la salida 
d) Expresión analítica del movimiento estable.
e) Frecuencia natural y pseudoperíodo del movimiento.
a)
b)
c)
d)
