La
energía cinética de esta partícula es:Expresión General de la Energía Cinética para un Sistema Material
Supongamos
un sistema material en movimiento respecto de una terna cualquiera y sea una
partícula del sistema de masa mi
y velocidad La
energía cinética de esta partícula es:
y por ende, la energía cinética total del sistema:
(6)
Esta espresión también es relativa a la terna de referencia.
Para evaluar la energía cinética de un sistema, conviene elegir un centro de reducción y tomar una terna en ese punto que se traslade con respecto a la que se está estudianto el movimiento; gráficamente:
Sea
el punto o1 del sistema el centro de reducción y origen de una terna
que se desplaza con velocidad 
.
Esta terna resulta ser parcialmente solidaria con el sistema material. Puede
decirse que todos los puntos Pi
del sistema están animados de la velocidad 
más
la velocidad relativa de cada punto con respecto a o1, es decir:
Reemplazando en (6)
(7)
Esta expresión nos da la energía cinética (que tendrá el mismo valor cualquiera sea el punto o1 elegido) del sistema material y como se observa está compuesta de tres sumandos, cada uno de ellos con un importante significado a saber:
El
primer sumando, 
recibe
el nombre de energía cinética de arrastre o de traslación y es la que tendría
el sistema en el supuesto que toda la masa estuviera concentrada en el centro de
reducción, siendo generada por la velocidad de éste último.
El
segundo sumando 
se
denomina energía cinética relativa o de rotación y está originada por el
movimiento relativo de cada punto respecto al o1.
El
tercer sumando 
recibe
el nombre de fuerza viva compuesta y su valor depende del centro de reducción.
Esta e3 puede anularse si se toma como centro de reducción a un
punto fijo del
sistema
(si lo hubiera),
así resultaría
y
por ende e3
= 0 siendo
en este caso e1 también nula.
Pero el caso más importante de anulación de e3 es cuando se toma como centro de reducción del baricentro “G” del sistema, lo que da lugar al teorema de König: “La energía cinética de un sistema material cualquiera es en cada instante igual a la energía cinética que corresponde al baricentro supuesto que en él está concentrada toda la masa, más la energía cinética que le corresponde al sistema en su movimiento relativo al baricentro”.
En
efecto, si o1 es el centro de reducción, entonces 
es
el vector posición de G respecto de o1.
Pero
si 
Por
otro lado: 
derivando:
Con
lo que, siendo 
será
y
por lo tanto 
,c.q.d.
La
(7) es una expresión válida para cualquier sistema material. Veamos ahora qué
forma toma la expresión de la energía cinética para un sólido en
movimiento rototraslatorio; para ello tomaremos una terna cualquiera trasladándose
con la velocidad 
del
centro de reducción, pero sin que ella esté impresa del movimiento de rotación
del sólido 
(es
decir, no está solidariamente unida al mismo).
Así,
el sólido se mueve respecto a la terna móvil con una velocidad angular 
;
luego, para un punto Pi se tiene:
y por lo tanto
Reemplazando esta expresión de la ley de distribución de velocidades en un sistema rígido, en la (6) se obtiene:
En
el segundo sumando se ha multiplicado numerador y denominador por w2.
formándose el versor 
.
Detengámonos
ahora sobre la expresión: 
En
consecuencia 
y
es el momento de incercia de la masa mi respecto al eje 
Así
resulta
ser el momento de inercia del sólido respecto al eje
pasante
por o1. El tercer sumando, se tiene å
y
por lo tanto, la expresión general de la energía cinética para un sólido es
(8)
En un sistema rígido siempre es posible anular e3. Una forma es usar como centro de reducción a un punto fijo, lo que será posible si el sólido está en movimiento de rotación o de rotación instantánea, en este caso es:
Pero
también se puede anular e3 tomando el varicentro como centro de
reducción; en este caso
y:
