Expresión general del momento cinético para un Sistema material
Siendo para una partícula:
definiremos como momento cinético de un sistema de partículas respecto de un punto o1 a la suma de los momentos cinéticos de cada partícula:
El punto o1 es el centro de momentos y pertenece al sistema material, pudiendo ser fijo o móvil.
A
la vez, o1 es el origen de la terna que se desplaza con 
respecto
de la fija
Como
siempre 
y
así:
(10)
donde
es
la posición del baricentro respecto al centro de momentos o1 y 
es
la velocidad de ese punto.
El primer sumando del término de la derecha en (10) expresa que una parte del momento cinético respecto del punto o1 sería el que tendría toda la masa como si ésta estuviese concentrada en el punto G y con la velocidad de o1. Recibe el nombre de momento cinético “de arrastre u orbital”.
El segundo sumando es el debido a las velocidades relativas a o1 y se denomina momento cinético relativo o propio.
Si
se ubicara la terna sobre el baricentro G, tomándoselo como centro de momentos,
se tendría 
y:
(10’)
que es el momento cinético relativo al baricentro. Por lo tanto, respecto del baricentro el momento cinético total y el relativo son iguales, no existiendo momento cinético orbital. Los responsables de que exista momento cinético respecto del baricentro son los movimientos de las partículas con respecto a éste.
Veamos
ahora qué forma adopta la (10) para el caso específico de un cuerpo rígido:
en este caso tomaremos la terna solidaria con el cuerpo en un punto o1
del mismo, donde ahora estarán aplicados los vectores característicos 
,
siendo:
luego, reemplazando:
como siempre, el primer sumando resulta
En el segundo sumando conviene aplicar la fórmula de Gibbs:
Obteniéndose
(11)
con:
Por lo que:
o trabajando en forma matricial:
(12)
Donde
es
la matriz unidad.
Veamos ahora el producto:
(13)
Donde
es
una matriz cuadrada de 3 x 3 originada por el producto binario del vector posición
por
sí mismo.
Luego, introduciendo (12) y (13) en (11), resulta:
(14)
Operando con el binomio entre paréntesis se observa que:
- 
(14 a)
Cada
elemento de esta nueva matriz de 3 x 3 tiene un significado físico relevante.
En efecto 
por
ejemplo es el momento de inercia de la masa i-ésima respecto del eje 
;
gráficamente
De
igual forma, 
Serán
siempre positivos, por cuanto las distancias están elevadas al cuadrado. Los términos
ubicados a los lados de la diagonal principal representan los momentos centrífugos
o productos de inercia de la masa mi respecto de dos planos
coordenados, cambiados de signo. Así por ejemplo:
es
el momento centrífugo de mi respecto a los planos dados por sus
direcciones normales 
De
la misma manera surgen:
Pueden tomar valores positivos o negativos e incluso anularse.
Por lo tanto la matriz (14) queda expresada:
A
la matriz 
se
la conoce con el nombre de TENSOR DE INERCIA
de la masa mi con respecto a 01. Luego
(15)
que representa el tensor de inercia del sistema total respecto de 01 .(VER APENDICE I)
Notar
que 
está
referido a la terna con respecto a la cual se expresa la velocidad angular 
.
De esta forma, la expresión (14) queda:
(16)
Según qué punto se tome como centro de reducción, se tendrán diversos casos.
Si se toma un punto fijo 01 del sólido, será:
(16a)
En cambio, si se toma 01 º G resultará:
(16b)
Si
bien la expresión (16) es general y de directa aplicación, a veces resulta más
sencillo el cálculo del momento cinético respecto de G como primer paso para
conocer el 
.
En efecto es:
(17)
terna supuesta fija.
terna móvil solidaria con el sólido.
(18)
Reemplazando (18) en (17):
luego:
(19)
La
(19) permite conocer el momento cinético respecto de cualquier punto conociendo
el referido al baricentro. En ella, 
es
la cantidad de movimiento del sistema repecto de la terna que se supone fija y 
es
el vector posición de G desde 01.
Es
indudable que desde el punto de vista práctico conviene referir todos los
vectores intervinientes en las expresiones anteriores a la terna solidaria con
el cuerpo, porque respecto de ella resultará constante el tensor 
.
Un caso particular es el de los sólidos de revolución que aunque se muevan con
respecto a una terna dada, sus momentos de inercia no cambian respecto de ella.
Siendo las (16) y (19) expresiones vectoriales, resulta inmediata la obtención de las formas cartesianas, con sólo desarrollar:
