Movimiento de un Sólido Alrededor de un Eje Fijo

Consideremos el sólido de la figura, el cual se ve obligado a girar alrededor del eje fijo con una rotación w = w(t).

Sea una terna fija , uno de cuyos ejes coincide con el de rotación; luego:

y construyamos un sistema móvil de referencia, el cual para simplicidad deberá cumplir con los siguientes requisitos:

a.-) La terna móvil estará fija al sólido y el punto fijo 0 será el origen del sistema de coordenadas (menos incógnitas para S); también uno de sus ejes coincidirá con el de rotación, luego:

b.-) El centro de gravedad del sólido debe caer dentro de uno de los planos coordenados, eliminándose una coordenada (en el caso de la figura: Y_g). En otras palabras, la proyección del punto G sobre el plano vdetermina la dirección del eje .

Es conveniente referir todos los vectores al sistema móvil, puesto que conociendo
j = j (t) es muy sencillo pasar al sistema fijo por transformación de coordenadas.

Supondremos que el sólido está sujeto a un sistema de fuerzas activas cuya resultante es:

 y trataremos de hallar las reacciones giratorias , aplicando las ecuaciones cardinales de la dinámica.

Para ello, tomaremos momentos respecto del punto fijo 0, aunque podría usarse cualquier otro punto. Así

 La cantidad de movimiento será

Por lo tanto:

 y también

 Calculemos ahora

(Notemos que el tensor de inercia debe estar referido a ejes paralelos a los móviles).

Así resultará (16. a):

Donde los asteriscos indican las componentes del tensor que no hacen falta ser calculados por no intervenir en el producto matricial (debido a las componentes nulas de ).

Por lo tanto:

 y:

Habiendo encontrado todos los términos que componen las ecuaciones cardinales, estamos en condiciones de proseguir con su aplicación.

De la primera de ellas:

                        
                              (EXPRESION DE NEWTON)

 reemplazando y separando en componentes surge:

                                       (26.a)

La última de las tres igualdades expresa que las reacciones sobre no están afectadas por el movimiento de acuerdo con las condiciones que hemos elegido.

De la segunda de las ecuaciones cardinales (ecuación de EULER):

 se obtiene:

                                              (26.b)

Estas 6 últimas expresiones (26 a y b) permiten analizar el caso general en el cual la velocidad angular varía con el tiempo (por ejemplo, en el arranque de un motor eléctrico).

Veamos algunos casos particulares:

 a.-) Consideremos el caso en que

Tendremos:

(1) Esta última es una condición necesaria y no una ecuación, puesto que si existiera momento en habría aceleración angular g:

 y                     

Nótese que a pesar de considerar w = CTE algunas reacciones están influenciadas por el movimiento.

b.-) Si la única fuerza activa fuiese el peso (siempre con w = CTE) tendríamos:

 y las ecuaciones cardinales:

 c.-) Cuando el centro de masas del cuerpo G está sobre siendo la única fuerza actuante, se tendrá:

puede observarse que:

Nótese que a pesar de no existir fuerzas activas en las direcciones X e Y, sí existen reacciones de vínculo en esas mismas direcciones. Por lo tanto, éstas surgen como consecuencia del movimiento y no de la carga. Z_o no depende del movmiento ya que sólo equilibra al peso.

Por otra parte siendo:

                                       e                     

surge claramente que las reacciones dinámicas engendran cuplas.

d.-) Supongamos por último un sistema de fuerzas activas muy particular, cuya resultante (incluído el peso) pasa por el punto 0; se tendrá:

                         M_x = M_y = M_z = 0

y por lo tanto:

El vínculo en 0₁ quita 2 grados de libertad (2 rotaciones) y el 0 quita 3 grados de libertad (3 translaciones) absorbiendo este último a la.

Notemos que las reacciones X₁ e Y₁ dependen exclusivamente del movimiento (puesto que si w = 0, éstas no existen) y por ello reciben el nombre de reacciones dinámicas. Así mismo, X_o, Y_o, Z_o dependen de y del movimiento denominándose reacciones Totales. Las reacciones que sólo dependen de la fuerza activa se denominan estáticas. Luego, las reacciones totales se componen de estáticas y dinámicas. Es sencillo observar que para que no se produzcan esfuerzos dinámicos en el sistema material rígido, deberán anularse I_yz e I_xz y el eje deberá ser un eje principal de inercia, en cuyo caso recibirá el nombre de eje permanente de rotación.

Veamos un ejemplo sencillo:

La chapa triangular de la figura a) está en reposo y por ende no ejerce ningún empuje lateral sobre los soportes, debido a que su centro de gravedad está sobre ; sólo existirá la reacción estática Z_o. Se dice que la chapa se halla estáticamente equilibrada.

Fig. a

Sin embargo, y dado que Z no es eje principal de inercia,   I_yz ¹ 0   y  las reacciones Y_o e Y₁  serán proporcionales a w² cuando la chapa comienza a girar con . Estas reacciones giran con la chapa originando desgaste en los cojinetes y vibraciones en las estructuras que los soportan. Un mecanismo está dinámicamente equilibrado si las antes y durante el movimiento son las mismas. En el caso de la chapa rectangular de la figura b) se observa que si no hay movimiento la misma está en equilibrio estático (con reacciones en 0 vertical y sin reacción en 0₁).

Al ponerse en movimiento (w ¹ 0) se desequilibrará, puesto que Z no es eje principal de inercia. (Si la chapa fuese cuadrada sí lo sería y no habría desequilibrio).

La chapa de la figura c) se encuentra en equilibrio estático (si w = 0)  con reacciones en 0₁  y  0.  Al ponerse en movimiento se desequilibrará, por cuanto G no coincide con el eje principal. Un caso de equilibrio estático y dinámico sería: