Dinámica del Movimiento Polar:

Movimiento de un Cuerpo Rígido Alrededor de un Punto Fijo

Recordemos que cuando el sólido tiene un punto fijo (0), las ecuaciones cardinales de la cinética toman la forma:

                            (20’ repetición)

                      (23’ bis repetición)

en las cuales el subíndice rel indica que las derivadas deben efectuarse suponiendo que la terna relativa (o móvil) está inmóvil y es la rotación de esta última terna respecto de la absoluta, que cuando los ejes son solidarios al sólido es la rotación absoluta de éste último

Veamos cómo aplicamos en este caso las ecuaciones cardinales:

Para el estudio que nos proponemos encarar tomaremos como terna móvil una solidariamente unida al sólido, la cual, para mayor simplicidad coincidirá con los ejes principales de inercia del mismo en el punto fijo 0.

En este caso, el tensor de inercia del sólido en el punto 0, será:

Además, el sólido tendrá 3 grados de libertad, es decir que su posición quedará expresada por los 3 ángulos de Euler (y, q, j) y la velocidad de cada punto se conocerá por el vector rotación

 Luego el vector será

 y por lo tanto

 el producto resultará

 de manera que reemplazando en la ecuación de momentos (23’bis)

                                                    (27)

Estas son las llamadas ecuaciones de Euler. En el caso más general serán funciones de t, de y velocidad de los puntos en que actúan.

Las componentes de podrán expresarse también en función de los ángulos de Euler:

                                                      (28)

se descompone primero en el

   plano

Ver Figura siguiente.

Estas tres ecuaciones junto con las (27) son seis ecuaciones diferenciales de primer orden en que permiten calcular los ángulos de Euler en función del tiempo, que es el objetivo que se persigue (aunque su integración sólo es posible en algunos casos particulares).

Las ecuaciones (20’) resultan útiles en este problema para determinar las reacciones en el punto fijo 0; en el caso en que éste no pertenezca al sólido, puede considerarse como tal a alguno que esté unido al mismo por algún tipo de vinculación; se tendrá:

 y                     

donde R_ox, R_oy, R_oz  son las reacciones (incógnitas) en 0 y son las fuerzas activas (datos).

Las ecuaciones de Euler (27) no son en general integrables, pero resuelven algunos casos particulares, de los cuales, los dos más importantes para el ingeniero son:

a.-) CASO DE EULER - POINSOT: El sólido con un punto fijo tiene simetría axial y está sometido a un sistema de fuerzas cuya resultante pasa en todo instante por el punto fijo. Es el caso denominado GIROSCOPO LIVIANO en el cual, actuando solamente las fuerzas de gravedad, se deja fijo el baricentro (0 º G).

b.-) CASO DE LAGRANGE - POISSON: Movimiento de un sólido que es simétrico con respecto a un eje (es decir, cuyo elipsoide de inercia es de revolución: cono, cilindro, pirámide regular, disco, etc.) con un punto fijo y además la única fuerza actuante es el peso, que lo hace sobre el eje de revolución.
Es el caso denominado TROMPO O GIROSCOPO PESADO .