Cinética de los Sistemas Materiales

Los problemas que aquí se plantean son idénticos en escencia a los que aparecen en la cinética de una partícula.

Para llegar a plantear las ecuaciones que resuelven estos problemas comenzaremos por definir dos conceptos fundamentales: TRABAJO  y ENERGIA CINETICA, así como también será necesaria la formulación de algunos teoremas.

Recordemos que definimos como Centro de Gravedad de un sistema de n puntos materiales al punto cuyo vector posición está dado por:

Trabajo Elemental de las Fuerzas que Actúan Sobre un Sistema Material:

Supongamos un sistema formado por N puntos materiales. Para un punto genérico P_i el trabajo elemental de las fuerzas aplicadas sobre el mismo es

pero como        

resulta             

y el trabajo elemental de todas las fuerzas que actúan sobre el sistema será:

                                 (1)

En esta expresión deben tenerse en cuenta los siguientes aspectos:

1.) El trabajo depende del sistema de referencia, puesto que depende del mismo, es decir, que la expresión (1) indica un trabajo relativo a la terna en la cual se está estudiando el movimiento.

2.) En la (1), representa la suma de fuerzas activas, reactivas e interiores:

El hecho de que intervengan las fuerzas interiores hace que esta expresión (1) sea de difícil aplicación, salvo que se conozca la forma de actuar de las mismas, lo que es realmente improbable.

Sin embargo, en los cuerpos rígidos su aplicación es sencilla puesto que al permanecer constante la distancia relativa entre los puntos, el trabajo de las es nulo. Además, estas fuerzas actúan de a pares, colinealmente y en sentidos opuestos por lo que:

Así, para un sistema material rígido, será:

                             (2)

donde: = resultante de las fuerzas exteriores.

También, para un sólido puede tomarse:

                                   (3)

donde es la velocidad de un punto del cuerpo tomado como centro de reducción; y son los vectores posición de los otros puntos respecto de 01; por lo tanto representa la velocidad relativa de los puntos P_i respecto del centro de reducción O₁. Para el caso de una chapa, gráficamente resulta:

Reemplazando (3) en (1) y teniendo en cuenta (2):

                      (4)

En el primer sumando, puede sacarse como factor común fuera de la sumatoria, puesto que al ser la velocidad del centro de reducción, es la misma para todos los puntos, obteniéndose:

En cuanto al producto mixto del segundo sumando, puede, sin alterarse el orden cíclico de los vectores, escribirse de la siguiente manera:

y         

es el momento de la resultante de las fuerzas exteriores respecto al punto 0₁, que es el centro de reducción. Luego, la expresión del trabajo elemental para un sólido es; de (4)

                                   (5)