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b. Estudio de los Movimientos Compuestos

El concepto de composición de movimientos simultáneos sólo tiene aplicación desde el punto de vista de los movimientos relativos; es decir, que un cuerpo tiene un cierto movimiento con respecto a otro cuerpo que a su vez también se mueve. Así por ejemplo si el punto P se mueve en el plano a con una traslación hasta la posición P’, al mismo tiempo que a gira alrededor de 0, diremos que P está sometido a la traslación relativa al plano a y a la rotación de dicho plano (al que pertenece dicho punto y al que arrastra en su movimiento).

b.1. Composición de traslaciones:

Consideremos un cuerpo sometido a las traslaciones simultáneas. Analicemos un punto P de dicho cuerpo y consideremos separadamente los desplazamientos del mismo debido a cada traslación y en el mismo intervalo Dt.

y el desplazamiento total resultante tendrá por expresión:

es decir:

con (7)

Nótese que que es la velocidad resultante, es otra traslación. Por lo tanto, el movimiento resultante de varias traslaciones es una traslación. Tal vez sirva al alumno para la visualización del tema, el imaginar un punto sobre una hoja de papel que se traslada sobre una mesa en traslación con respecto a un piso que a su vez se traslada.

b.2. Composición de Rotaciones

Consideremos para este estado compuesto de movimientos, distintos casos:

- b.2.1. Rotaciones Concurrentes

- b.2.2. Rotaciones Paralelas

- b.2.3. Par de Rotaciones

b.2.1. Composición de Rotaciones Concurrentes:

Consideremos un punto P de un sólido que gira sobre el eje de girando éste simultáneamente sobre el de nos interesa conocer el tipo de movimiento que resulta.

En tales condiciones, P tendrá las velocidades originados por según las siguientes expresiones:

_______________________________

s.m.a.m.

\ (8)

Luego el movimiento resultante es una rotación pero con un solo punto fijo que es el 0. Por lo tanto, el vector rotación resultante no es fijo y por ello da lugar a la denominada rotación instantánea. Al punto fijo O se lo llama polo y al movimiento se lo denomina polar.

Generalizando la demostración con rotaciones concurrentes se deduce que el sólido sometido a ellas posee un movimiento de rotación instantánea sobre un eje que pasa por el polo, siendo en cada instante la rotación el vector resultante de las rotaciones dadas.

(9)

b.2.2. Rotaciones Paralelas, composición

Consideremos el punto P del disco que rota con

sobre sí mismo mientras que el bastidor que lo sostiene gira con

alrededor de su eje fijo

aquí será:

S. m.a.m.

Utilizando la ley de composición para vectores paralelos, podrían sumarse:

pasando por O₃, luego: .

Por lo tanto, la composición de varias rotaciones paralelas simultáneas origina un movimiento de rotación instantáneo alrededor del eje del vector resultante.

b.2.3.Par de Rotaciones:

Supongamos que en el sistema rígido anteriormente dibujado las rotaciones

a que está sometido el disco son además de paralelas, de la misma intensidad y de sentidos opuestos. Ahora se tendrá:

____________________________

Luego = cte. en cada posición. Es decir, todos los puntos del disco tienen la misma velocidad, puesto que si se hubiera tomado otro punto para el análisis, por ejemplo el P’, el resultado hubiese sido el mismo. Luego, el movimiento resultante es una traslación circular.

b.3. Composición de Traslaciones con Rotaciones:

Supongamos un plano a, sección de un sólido, una rotación (resultante de todas las rotaciones que actúan sobre el sólido) que pasa por el punto O y una traslación (resultante de todas las traslaciones y pares de rotaciones) que por ser un vector libre llevamos al punto O.

Para eliminar del problema al ángulo que forman w y descompondremos a éste en . presentándose los siguientes problemas:

- b.3.1. Composición de

- b.3.2. Composición de

Una vez analizados estos dos casos volveremos al general.

b.3.1. Composición de Traslaciones y Rotaciones paralelas

En este caso un punto P del sólido describe un movimiento circular con centro en el eje y al mismo tiempo el plano de su movimiento se mueve perpendicular a sí mismo. Por lo tanto, P describirá un movimiento helicoidal lo que implica que cada punto del sistema rígido describirá un movimiento helicoidal distinto sobre el mismo eje.

La velocidad resultante de cada punto estará dada por la suma vectorial de la impuesta por la rotación más la impuesta por la traslación.

(10)

b.3.2. Composición de traslación con rotación cuando ambas son perpendiculares.

Si analizamos un punto P cualquiera del sólido tendrá dos velocidades impuestas simultáneamente por .

En este caso, es posible encontrar un punto C para el cual la suma

Cualquier punto ubicado sobre la recta tendrá dos vectores velocidad colineales y habrá una distancia desde O para el cual ambas sean iguales y de sentidos opuestos.

Todos los puntos de la normal al plano que pasa por C tendrán velocidad nula. Luego el movimiento resultante será una rotación alrededor de ese eje de velocidades nulas, el cual, por otra parte cambiará de posición con el tiempo debido a que es “arrastrado” por la traslación.

Por lo tanto, se trata de una rotación instantánea y el punto C se denomina centro de rotación instantánea o polo de velocidades.

Es de interés ubicar al polo, para lo cual hacemos:

multiplicando por ambos miembros de la igualdad

y resolviendo por Gibbs el doble producto vectorial:

pero siendo

y :

resulta: (11)

Un ejemplo clásico de este movimiento lo constituye la rueda de un vehículo, en la cual el centro instantáneo se encuentra sobre el pavimento.

Notar que la velocidad absoluta del punto del cuerpo que coincida con el centro instantáneo de rotación en un instante determinado es nula en dicho instante, pero su aceleración no lo es. Luego, el centro instantáneo de rotación considerado como punto del cuerpo, no puede ser tomado como centro instantáneo de aceleración nula.

Volviendo ahora al caso general b.3 en que forman un ángulo cualquiera, el mismo puede ser analizado por superposición de los dos casos anteriores:

Supongamos en el punto O una rotación y una traslación que forman entre sí un ángulo x; descompongamos a en una componente paralela y otra perpendicular a .

Componiendo con obtendremos una rotación instantánea en el centro instantáneo C con una Ahora, siendo un vector libre, podemos trasladarlo al punto C como encontrándonos con un caso

Luego, en el eje que pasa por C se desarrolla un movimiento helicoidal instantáneo, por cuanto C cambia de posición con el tiempo. Este movimiento es el más general que puede tener un sistema rígido (o sólido).

La velocidad de un punto P cualquiera del sólido sería:

y la posición del centro instantáneo:

b.4. Composición de Rotaciones Gaussas ( o puras)

Un caso singular de composición de traslaciones con rotaciones y que merece un tratamiento adecuado es el de las rotaciones alabeadas, es decir, que no se cortan.

Supongamos un sólido sometido a un conjunto de estas rotaciones siendo R₁, R₂ ...., R_n puntos de sus respectivos ejes de rotación. La velocidad de un punto P cualquiera del sólido será la suma de velocidades que en dicho punto originan las distintas rotaciones:

Ahora bien, el procedimiento anterior no suministra información sobre el tipo de movimiento de que se trata. Para ello, procedamos de la siguiente manera: coloquemos en el punto 0, dos rotaciones iguales y de sentido contrario a cada una de las existentes, con lo cual no se varía el sistema.- Así, las rotaciones que pasan por O son concurrentes y admiten una rotación resultante

Las rotaciones en R₁ forman un par de rotaciones y por lo tanto dan lugar a una traslación perpendicular al plano que ellas determinan, ocurriendo lo mismo con el resto de los pares así formados. Siendo la traslación un vector libre, podemos llevarlas al punto 0, donde tendremos las traslaciones

que admitirán una resultante

Luego, el problema se reduce a una rotación y a una traslación en el punto 0 que en el caso más general darán un movimiento helicoidal instantáneo tal como se vio en el apartado precedente.