APRENDICE I

APENDICE I: Tensores Cartesianos

Veamos algunos conceptos aclaratorios sobre esta nueva magnitud Recordemos que desde el punto de vista matemático, específicamente del álgebra lineal, el tensor es una transformación lineal Es decir, el tensor es una transformación lineal que a cada vector asigna un único vector cumpliendo con las operaciones lineales:

Desde el punto de vista ingenieril el tensor es un ente que describe un fenómeno físico y resulta ser independiente del sistema de coordenadas, por lo que constituye una magnitud.

El tensor no se altera si el sistema de referencia en el cual se definió se modifica.

Las magnitudes tensoriales tienen tantas componentes como 3ⁿ , donde n se denomina “orden” del tensor. Si n = 0, tiene una única componente y el tensor representará un escalar. Si n = 1, tiene 3 componentes y el tensor es un vector. Si n = 2, el tensor se denomina de orden dos y posee nueve componentes.

A I.1 Transformación por Rotación de Ejes

Toda magnitud tensorial de orden 2 permite pasar por giro de ejes coordenados (TRANSFORMACINES ORTOGONALES DE COORDENADAS, ALGEBRA LINEAL) a sus nuevas componentes mediante expresiones de transformación del tipo:

T’ = R T R^T

ó: (A.1)

Donde los c’ s resultan ser los cosenos directores entre los ejes girados y los originales. La expresión A1 está escrita en la así llamada notación de Einstein, donde se entiende que los subíndices que se repiten suman, permaneciendo fijos los que no varían; así por ejemplo:

Matricialmente, t’₁₃ representa el valor de la componente ubicada en la fila 1 y columna 3 del tensor que cuando se lo refería al sistema tenía como expresión:

gráficamente:

Así como un vector de tres componentes (tensor de orden 1) es invariante respecto del sistema de coordenadas (sólo varían sus componentes al referirlo a uno u otro), el tensor de orden 2 también lo es.

Por estar representado por una matriz (como toda transformación lineal), el tensor de orden 2 goza de todas las propiedades vistas en cálculo matricial (álgebra lineal), entre ellas:“La suma de las componentes principales (traza) es un invariante”:

Retornemos ahora a la expresión (15). Se tiene que el tensor de inercia del sistema 0₁ es:

AI. 2: Simetría

Es muy fácil demostrar que este tensor de inercia es simétrico, por cuanto:

con lo que en general: I_ij = I_ji (i,j = 1, 2, 3)

Luego, en la aplicación de la (16) para el caso concreto del tensor de inercia, respecto a ejes rotados, será:

a) Para un elemento con subíndice iguales (momentos de inercia)

b) Para un elemento con subíndices desiguales (momento centrífugo)

Notar que el momento de inercia es la componente del tensor, pero el momento centrífugo (o producto de inercia) es la componente del tensor con signo cambiado.

AI.3 Transformación por traslación de ejes

Con respecto a las propiedades de las componentes del tensor de inercia, conviene recordar una muy importante: el Teorema de Steiner. Según este teorema, se tiene; para una traslación de ejes

Donde: (x’, y’, z’) son ejes paralelos a (x_G, y_G, z_G)

(x_G, y_G, z_G) son ejes paralelos a x, y, z pasantes por el centro de gravedad G.

d_x, d_y, d_z son las distancias entre los ejes x_G, y_G, z_G y los x’, y’ , z’, respectivamente

masa del sistema

Así también:

AI.4. Elipsoide de Inercia

Para examinar el efecto de la orientación de los ejes sobre las propiedades inerciales para un origen 0 dado de coordenadas, consideremos el momento de inercia I’₁₁ de un cuerpo rígido respecto a una recta r) cualquiera que pase por el origen 0.

Los cosenos directores de r), serán c₁₁, c₁₂, c₁₃ y el versor director de r) puede escribirse:

También supondremos conocidos todos los momentos de segundo orden del cuerpo con respecto al sistema o base Esto es, conocemos el tensor de Inercia

Tomemos la recta r) como eje de un nuevo sistema de coordenadas y calculemos el momento de inercia del cuerpo respecto de este nuevo eje.

De acuerdo a la fórmula de transformación tendremos:

= (A.2)

Esta expresión da el momento de inercia respecto a un eje cualquiera en función de los mementos de inercia respecto a las direcciones coordenadas originales y de los productos de inercia (o momentos centrífugos) repecto a los pares de planos coordenados.

Si se tiene sobre r) un punto R situado a una distancia de 0 (con el fin de establecer de una manera gráfica la ley de variación de I’₁₁ se toma ) y teniendo en cuenta que: cos j₁₁ = c₁₁ =

y también que

entonces:

reemplazamdo en (41); o sea multiplicando ambos miembros por

(A.3)

Esta expresión es la de una superficie cuádrica centrada en 0, llamada elipsoide (para un cuerpo rígido finito no puede existir ninguna orientación para la cual I’₁₁ sea nulo y r_R finito).

También se denomina a esta superficie elipsoide de inercia relativo al punto 0 del cuerpo rígido dado. La geometría del elipsoide define por completo las propiedades inerciales del cuerpo respecto de 0, es decir: representa gráficamente el tensor de inercia en 0. En general, a cada punto del cuerpo irá asociado un elipsoide diferente.

En otras palabras, los I_ijson constantes, pero a medida que r) va girando alrededor de 0 las coordenadas de R deben satisfacer la A3 (Fig. A2).

El elipsoide (de inercia en nuestrocaso) tiene 3 ejes de simetría: siempre será posible orientar las direcciones coordenadas de manera que coincidan con dichos ejes (Fig. A3) obteniéndose la ecuación canónica.

Los momentos de inercia respecto a estos ejes reciben el nombre de momentos principales de Inecia y a los ejes se les llama ejes principales de inercia. Para esta orientación de los ejes se anulan los productos de inercia y la ecuación cuádrica (A2) se convierte en:

(A.4)

Como la ecuación canónica de un elipsoide (Geom. analítica) es:

y: a, b, c, representan los semiejes del mismo, en la A.4 tendremos

Luego, los semiejes del elipsoide de inercia están dados por:

Siendo nulos los momentos centrífugos para esta dirección de los ejes, el tensor de inercia toma la forma

y se dice que está diagonalizado. De la definición de a_i y de la Fig. A.3. se observa que el momento de inercia es máximo respecto al eje para el cual a es mínimo. En cuanto a la forma del elipsoide, si el cuerpoes una esfera o un cubo p ej. el elipsoide será una esfera. A medida que el cuerpose alarga o se acorta, también lo hace el elipsoide. A medida que nos alejamos del baricentro el semieje disminuye (Por Steiner) pues aumenta el momento de inercia.